| Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion |
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I. Einleitung
Oft treten in der Mathematik Zusammenhänge auf, die allgemeingültig erscheinen. So kann man zum Beispiel durch Rechnung wie folgt zeigen, daß für jedes n aus der Menge M = {1, 2, 3, 4, 5} gilt, daß das Quadrat von n gleich der Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist:
12 = 1 = 1
22 = 4 = 1 + 3
32 = 9 = 1 + 3 + 5
42 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7
52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9
In der Schulmathematik würde man nun wahrscheinlich ohne Beweis ein Axiom aufstellen, das besagt, daß das Quadrat von n die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist, da der Lehrer dem Schüler keine langatmigen Beweise zumuten will und natürlich weiß, daß dies wirklich stimmt.
Um nun derartige Zusammenhänge zu beweisen, gibt es verschiedene Verfahren. Das wohl praktischste ist das Beweisverfahren der vollständigen Induktion. Es ist nämlich fast immer anwendbar, vor allem, wenn man eine Vermutung hat, wie die Lösungsformel einer Rechnung aussehen wird; wenn man also bei einer Reihe von Zahlen erkennt, daß man das Ergebnis einer Rechnung mit einer bestimmten Formel ausdrücken kann.
Man stößt aber auch in der Formelsammlung oft auf Formeln, deren Richtigkeit in der Schule nie bewiesen wurde. Man sieht oft auf Anhieb, daß diese Formeln für kleinere natürliche Zahlen gelten und natürlich sind diese auch richtig, aber um sie wirklich zu verstehen, müßte man auch diese beweisen.
Auch hierfür ist das Beweisverfahren der vollständigen Induktion meist sehr nützlich. |
Datum: Januar 2000
Fach: Mathematik
Jahrgangsstufe: K12 / K13 (Gymnasium)
Schule: Heinrich-Heine-Gymnasium, München
Punkte: 14 (Note: 1)
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